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1. 为什么面试前要看这个问题？前一篇整理了线性空间、基和正交化。我们知道，一个向量可以在不同基下表示；如果选取合适的基，问题会变得更简单。 那么自然会出现一个问题： 有没有一组特殊的方向，使得矩阵作用在这些方向上时，只改变大小，不改变方向？ 这就是特征值和特征向量要回答的问题。 对于一个矩阵 $\mathbf{A}$，如果存在非零向量 $\mathbf{x}$ 和数 $\lambda$，使得

1. 为什么面试前要重新看矩阵？研一阶段学过很多数学工具，刚学的时候可能会觉得它们只是公式和定义。但真正做力学计算、有限元、结构动力学、数值模拟时会发现：矩阵不是抽象符号，而是工程计算的基本语言。 比如一个三元一次线性方程组： $$ \begin{cases} 2x_1 - x_2 = 1 \\ -x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\ -x_2 + 2x_3 = 0 \end{case

1. 为什么面试前要看这个问题？上一篇整理了变分法的基本思想：真实解使泛函的一阶变分为零，也就是： $$ \delta J = 0 $$ 对于一类变量问题，我们通常只选择一个未知函数作为变量。例如轴向拉杆问题中，只把位移 $w(z)$ 看作未知函数，总势能写成： $$ S[w] = \int_0^L \left[\frac{1}{2}kw^2 + \frac{1}{2}EF(w')^2\r

1. 为什么面试前要看这个问题？前两篇主要围绕矩阵展开：矩阵可以描述多自由度系统的耦合关系，分块矩阵可以帮助我们理解复杂系统的自由度划分和子结构耦合。 但如果继续往后看，比如模态分析、振型展开、POD 降阶、Galerkin 投影，就会发现还有一个更基础的问题： 我们到底是在什么“空间”里表示解？ 例如一个结构系统的位移向量可以写成： $$ \mathbf{u} = \begin{bmatr

1. 为什么面试前要看这个问题？前面几篇主要是从“泛函”出发，通过变分得到控制方程。 例如对泛函： $$ J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')\,dx $$ 进行变分，并令： $$ \delta J = 0 $$ 可以得到欧拉-拉格朗日方程： $$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\fra

1. 为什么面试前要看这个问题？上一篇主要整理了矩阵为什么是力学计算的基本语言。简单来说，连续力学问题经过离散化之后，往往会形成矩阵方程，例如有限元中的： $$ \mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{F} $$ 但是在真正的工程计算里，我们面对的矩阵通常不是几行几列的小矩阵，而是几千、几万甚至上百万自由度的大矩阵。 这时如果还把矩阵只看成一个完整的“大数表”，就很难理解后

1. 为什么面试前要看这个问题？前一篇整理了特征值和特征向量。我们知道，特征值可以描述系统在某些特殊方向上的伸缩性质，也可以对应结构动力学中的固有频率和振型。 但如果继续思考动力学问题，还会遇到另一个问题： 已知系统当前状态，如何描述它随时间的演化？ 对于一个最简单的标量微分方程： $$ \dot{x} = ax $$ 它的解是： $$ x(t) = e^{a(t-t_0)}x(t_0

1. 为什么面试前要看这个问题？前两篇主要讲了变分法和多类变量变分。 我们已经知道，很多力学问题可以通过泛函极值来描述： $$ \delta J = 0 $$ 也知道在多类变量变分中，可以把多个物理量同时作为独立变量，例如位移 $w$ 和内力 $N$。 但是实际力学问题中，变量之间往往不是完全自由的，它们需要满足某些约束条件。 例如轴向杆中，应变和位移之间满足： $$ \varepsilo

1. 为什么面试前要看这个问题？前面几篇主要整理了线性代数相关内容，包括矩阵、分块矩阵、基、特征值和矩阵指数。 这些内容可以帮助我们理解离散系统： $$ \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{F} $$ 或者动力系统： $$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} $$ 但力学问题最开始往往并不是一个矩阵方程，而是连续体问