研一数学基础复习笔记（七）：勒让德变换与 Hamilton 形式
1. 为什么面试前要看这个问题？
上一篇整理了变分法的基本思想：真实解使泛函的一阶变分为零，也就是：
$$ \delta J = 0 $$对于一类变量问题，我们通常只选择一个未知函数作为变量。例如轴向拉杆问题中，只把位移 $w(z)$ 看作未知函数，总势能写成：
$$ S[w] = \int_0^L \left[\frac{1}{2}kw^2 + \frac{1}{2}EF(w')^2\right] dz - Pw(L) $$对这个泛函进行变分，可以推出平衡微分方程：
$$ EF\frac{d^2w}{dz^2} - kw = 0 $$但是在力学和数值计算中，我们有时不只关心位移，也关心内力、应力、动量等变量。
例如在轴向杆中，除了位移 $w(z)$，还可以把轴力 $N(z)$ 也作为独立变量。
这时问题就从“一类变量变分”变成了“多类变量变分”。
进一步地，通过勒让德变换，可以把原来以位移和位移导数为变量的 Lagrange 型表达，转换成以位移和内力为变量的 Hamilton 型表达。
所以这一篇的核心问题是：
为什么要引入多类变量？勒让德变换如何把 Lagrange 型形式转化为 Hamilton 型形式？
从面试角度看，这一篇很适合体现你对变分原理的理解不是停留在公式层面，而是知道不同变量选择会影响问题的表达方式和数值求解结构。
2. 核心概念
2.1 什么是多类变量变分？
上一篇中，我们考虑的是一类变量泛函：
$$ J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')\,dx $$这里只有一个未知函数 $y(x)$。
如果泛函中包含多个未知函数，例如：
$$ J[y_1,y_2,\cdots,y_n] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y_1,y_2,\cdots,y_n,y_1',y_2',\cdots,y_n')\,dx $$那么要求极值时，就需要分别对每个函数进行变分。
对每个 $y_i$，都有对应的欧拉-拉格朗日方程：
$$ \frac{\partial F}{\partial y_i} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_i'}\right) = 0,\quad i=1,2,\cdots,n $$这就是多类变量变分的基本形式。
从力学角度看，多类变量意味着我们不再只使用一个变量描述系统，而是让多个物理量同时作为独立未知量。
比如：
- 位移 $w$；
- 应变 $\varepsilon$；
- 内力 $N$；
- 动量 $p$；
- 温度 $T$；
- 热流 $q$。
这样可以构造出不同类型的变分原理。
2.2 为什么要引入多类变量？
如果只用位移作为未知量，很多问题可以写成位移型变分原理。
但在一些数值计算问题中，只用位移变量可能并不理想。
例如：
- 应力或内力精度可能不够好；
- 对约束条件的处理不够自然；
- 某些问题会出现数值锁定；
- 某些变量在物理上本来就应该独立求解；
- 混合有限元中需要同时近似位移和应力。
因此，引入多类变量可以提供更灵活的建模方式。
以轴向拉杆为例，原来只用位移 $w$ 表示问题。
但轴力 $N$ 其实也是非常重要的物理量，并且满足：
如果把 $w$ 和 $N$ 都看作独立变量，就可以得到另一种形式的变分原理。
这种变分形式有时称为混合型变分原理。
2.3 勒让德变换的直观意义
勒让德变换的作用，可以简单理解为：
改变函数的自变量。
比如原来有一个函数：
$$ f = f(x,y) $$它的微分为：
$$ df = u\,dx + v\,dy $$其中：
$$ u = \frac{\partial f}{\partial x},\quad v = \frac{\partial f}{\partial y} $$如果原来把 $x,y$ 看作自变量，现在希望把 $u,y$ 看作自变量，就需要构造一个新的函数。
这个过程就是勒让德变换。
对 $x$ 做勒让德变换，可以定义：
$$ g(u,y) = ux - f(x,y) $$经过变换后，新的函数 $g$ 可以用 $u,y$ 来描述系统。
从力学角度看，勒让德变换经常用于把“速度型变量”转换成“动量型变量”，或者把“应变型变量”转换成“应力型变量”。
这就是它在 Hamilton 体系和混合变分原理中的作用。
2.4 Lagrange 型形式和 Hamilton 型形式
在很多问题中，Lagrange 型形式通常以“位移”和“位移导数”作为变量。
例如轴向杆中的变形能密度：
$$ L(w,w') = \frac{1}{2}kw^2 + \frac{1}{2}EF(w')^2 $$这里 $L$ 是 $w$ 和 $w’$ 的函数。
由于：
$$ N = \frac{\partial L}{\partial w'} = EFw' $$可以把 $N$ 看作与 $w’$ 对偶的变量。
通过勒让德变换，可以构造 Hamilton 型函数：
$$ H(N,w) = Nw' - L(w,w') $$代入 $N=EFw’$，即 $w’=N/(EF)$，可得：
$$ H(N,w) = \frac{N^2}{2EF} - \frac{1}{2}kw^2 $$这样，原来以 $w,w’$ 为变量的表达，就转成了以 $N,w$ 为变量的表达。
这就是从 Lagrange 型形式到 Hamilton 型形式的转换。
3. 关键公式
3.1 多类变量的欧拉-拉格朗日方程
对于泛函：
$$ J[y_1,y_2,\cdots,y_n] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y_1,\cdots,y_n,y_1',\cdots,y_n')\,dx $$对每个变量 $y_i$ 分别变分，可以得到：
$$ \frac{\partial F}{\partial y_i} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_i'}\right) = 0,\quad i=1,2,\cdots,n $$这个公式说明：
多类变量问题会产生一组欧拉-拉格朗日方程，而不是单个方程。
如果有两个独立变量，例如 $w(z)$ 和 $N(z)$，那么就会得到两组方程，分别来自：
$$ \delta w $$和：
$$ \delta N $$的任意性。
3.2 勒让德变换
设：
$$ df = u\,dx + v\,dy $$其中：
$$ u = \frac{\partial f}{\partial x},\quad v = \frac{\partial f}{\partial y} $$如果要把自变量从 $x,y$ 转为 $u,y$，可以定义：
$$ g(u,y) = ux - f(x,y) $$则有：
$$ x = \frac{\partial g}{\partial u} $$以及：
$$ v = -\frac{\partial g}{\partial y} $$这说明新函数 $g$ 可以用新的自变量 $u,y$ 来描述原来的关系。
在力学中，这种形式可以把一个变量和它的共轭变量进行交换。
3.3 轴向拉杆中的 Hamilton 函数
轴向拉杆的 Lagrange 型能量密度为：
$$ L(w,w') = \frac{1}{2}kw^2 + \frac{1}{2}EF(w')^2 $$由定义：
$$ N = \frac{\partial L}{\partial w'} = EFw' $$因此：
$$ w' = \frac{N}{EF} $$构造 Hamilton 函数：
$$ H(N,w) = Nw' - L(w,w') $$代入后得到：
$$ H(N,w) = \frac{N^2}{2EF} - \frac{1}{2}kw^2 $$于是 Hamilton 正则形式可以写成：
$$ w' = \frac{\partial H}{\partial N} $$ $$ N' = -\frac{\partial H}{\partial w} $$具体计算：
$$ \frac{\partial H}{\partial N} = \frac{N}{EF} $$所以：
$$ w' = \frac{N}{EF} $$又因为：
$$ -\frac{\partial H}{\partial w} = kw $$所以：
$$ N' = kw $$这两条方程合起来：
$$ w' = \frac{N}{EF},\quad N' = kw $$可以推出原来的二阶平衡方程。
因为 $N=EFw’$，所以：
$$ N' = EFw'' $$代入 $N’=kw$，可得：
$$ EFw'' - kw = 0 $$这与前一篇从最小势能原理推出的方程一致。
3.4 Hamilton 型变分泛函
利用 Hamilton 函数，可以构造新的泛函：
$$ S[w,N] = \int_0^L \left[Nw' - H(N,w)\right] dz - Pw(L) $$其中：
$$ H(N,w) = \frac{N^2}{2EF} - \frac{1}{2}kw^2 $$所以：
$$ S[w,N] = \int_0^L \left[Nw' - \left(\frac{N^2}{2EF} - \frac{1}{2}kw^2\right)\right] dz - Pw(L) $$这个泛函中，$w$ 和 $N$ 被看作两类独立变量。
对它们分别变分：
$$ \delta S = 0 $$就可以得到：
$$ w' - \frac{N}{EF} = 0 $$以及：
$$ N' - kw = 0 $$这说明 Hamilton 型变分原理与原始平衡方程等价。
4. 和力学/数值计算的联系
4.1 位移型变分原理和混合型变分原理
位移型变分原理只把位移作为基本未知量。
例如：
$$ S[w] = \int_0^L \left[\frac{1}{2}kw^2 + \frac{1}{2}EF(w')^2\right] dz - Pw(L) $$未知量只有 $w$。
而 Hamilton 型变分泛函为：
$$ S[w,N] = \int_0^L \left[Nw' - H(N,w)\right] dz - Pw(L) $$未知量有两个：
$$ w,\quad N $$这就是混合型思想。
它的特点是：
位移和内力同时作为独立变量参与求解。
在数值计算中，这种思想可以引出混合有限元方法。
4.2 为什么混合形式有时更适合数值计算？
在位移型有限元中，通常先求位移，再通过位移导数计算应变和应力。
例如：
$$ N = EFw' $$这意味着内力是通过位移求导得到的。
但数值求导容易降低精度，尤其当位移近似阶次较低时，应力或内力的精度可能不理想。
如果采用混合形式，直接把内力 $N$ 作为未知量，就可以更直接地求得内力场。
这在以下问题中很有价值：
- 应力精度要求较高的问题；
- 不可压缩或近不可压缩材料问题；
- 梁板壳中的剪切锁定问题；
- 多场耦合问题；
- 约束条件较强的问题。
因此，多类变量变分不仅是数学形式上的推广，也有实际数值意义。
4.3 Hamilton 正则方程体现了一阶系统思想
原来的平衡方程是二阶微分方程：
$$ EFw'' - kw = 0 $$而 Hamilton 形式给出的是两个一阶方程：
$$ w' = \frac{N}{EF} $$ $$ N' = kw $$也就是说：
Hamilton 形式把一个二阶方程改写成了一阶方程组。
这和动力系统中的状态空间思想非常类似。
上一篇中，我们讲过可以把二阶动力学方程转成一阶状态空间方程：
$$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} $$这里的 Hamilton 正则方程也有类似思想：
通过引入新的变量，把高阶方程改写成一阶系统。
这种形式在结构动力学、辛算法、保结构算法中非常重要。
4.4 勒让德变换连接不同能量函数
勒让德变换不仅出现在结构力学中，也广泛出现在热力学和分析力学中。
例如热力学中，内能 $U$ 可以写成熵 $S$ 和体积 $V$ 的函数：
$$ dU = T\,dS - p\,dV $$通过勒让德变换，可以得到不同的热力学势，例如 Helmholtz 自由能：
$$ F = U - TS $$以及 Gibbs 自由能：
$$ G = U + pV - TS $$这些能量函数使用不同的自变量，但描述的是同一个物理系统。
这说明勒让德变换的本质是：
改变描述系统的变量，而不是改变系统本身。
在力学中，从 Lagrange 形式到 Hamilton 形式也是类似的思想。
4.5 从面试角度理解这部分
这一章最容易让人困惑的是公式比较多，但面试时不需要把所有推导都背下来。
真正重要的是讲清楚三件事：
第一，为什么要多类变量？
因为有些物理量不希望只作为派生量，而希望直接作为独立未知量参与求解。
第二，勒让德变换做了什么？
它改变了变量选择，把原来依赖位移导数的表达转成依赖其共轭变量的表达。
第三，Hamilton 形式有什么意义？
它可以把问题写成一阶正则方程组，并且为混合变分、保结构算法和更稳定的数值方法提供基础。
5. 面试中可以怎么回答？
如果面试官问：
什么是多类变量变分？
可以这样回答：
多类变量变分是指泛函中包含多个独立未知函数，需要分别对每个变量进行变分。每个变量的任意变分都会给出对应的欧拉-拉格朗日方程。在力学中，这意味着可以同时把位移、内力、应力或动量等变量作为独立未知量，而不是只用一个位移变量描述系统。
如果面试官问：
为什么要引入多类变量？
可以这样回答：
只用位移变量时，应力或内力通常是通过位移求导得到的，数值精度可能不够理想。引入多类变量后，可以把应力或内力直接作为未知量来求解，这有利于构造混合有限元，也能更自然地处理某些约束和多场耦合问题。因此多类变量不仅是数学推广，也有实际数值计算意义。
如果面试官问：
勒让德变换的作用是什么？
可以这样回答：
勒让德变换的作用是改变函数的自变量。比如原来函数依赖某个变量及其导数，通过勒让德变换可以改用与该导数对应的共轭变量来描述系统。在力学中，它常用于从 Lagrange 形式转到 Hamilton 形式，例如从位移和应变描述转到位移和内力描述。
如果面试官问：
Hamilton 型变分原理和原来的位移型变分原理有什么关系？
可以这样回答：
它们描述的是同一个物理问题，只是选取的独立变量不同。位移型变分原理只以位移作为基本变量，而 Hamilton 型变分原理可以把位移和内力同时作为独立变量。通过勒让德变换，可以从原来的能量密度构造 Hamilton 函数，并得到一阶正则方程组。最终推导出的平衡方程与原问题是等价的。
如果面试官问：
Hamilton 正则方程有什么意义？
可以这样回答：
Hamilton 正则方程把原来的高阶方程改写成一阶方程组。例如轴向杆问题中，二阶方程 $EFw’’-kw=0$ 可以写成 $w’=N/(EF)$ 和 $N’=kw$ 两个一阶方程。这种形式在动力系统、辛结构和保结构数值算法中很重要，也有助于构造混合型数值方法。
6. 这一篇的核心总结
这一篇主要复习了多类变量变分、勒让德变换和 Hamilton 型变分原理。
可以总结为三句话：
- 多类变量变分允许多个物理量同时作为独立未知函数参与泛函变分。
- 勒让德变换的核心作用是改变变量选择，把原来的导数型变量转换为共轭变量。
- Hamilton 型形式可以把问题写成一阶正则方程组，并为混合变分和保结构数值方法提供基础。
因此，勒让德变换不是一个孤立的数学技巧，而是连接不同物理变量、不同能量形式和不同数值方法的重要工具。
从面试角度看，可以这样理解：
勒让德变换改变的是描述系统的变量，Hamilton 形式改变的是问题的表达结构，但它们描述的物理问题本身没有变。
7. 下一篇预告
下一篇准备整理：
研一数学基础复习笔记（八）：约束变分与拉格朗日乘子法
下一篇会重点讨论在有约束条件时如何进行变分，为什么要引入拉格朗日乘子，以及拉格朗日乘子在力学中可能对应约束力或内力。